differential propositional calculus : appendix 1

Note. The following Tables are best viewed in the Page Image mode.


Contents

Table A1. Propositional Forms on Two Variables

Table A1 lists equivalent expressions for the boolean functions of two variables in a number of different notational systems.

Table A1. Propositional Forms on Two Variables
$ \mathcal{L}_1$ $ \mathcal{L}_2$   $ \mathcal{L}_3$ $ \mathcal{L}_4$ $ \mathcal{L}_5$ $ \mathcal{L}_6$
    $ x =$ 1 1 0 0      
    $ y =$ 1 0 1 0      
$ f_{0}$ $ f_{0000}$   0 0 0 0 $ (~)$ $ \operatorname{false}$ 0
$ f_{1}$ $ f_{0001}$   0 0 0 1 $ (x)(y)$ $ \operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y$ $ \lnot x \land \lnot y$
$ f_{2}$ $ f_{0010}$   0 0 1 0 $ (x)\ y$ $ y\ \operatorname{without}\ x$ $ \lnot x \land y$
$ f_{3}$ $ f_{0011}$   0 0 1 1 $ (x)$ $ \operatorname{not}\ x$ $ \lnot x$
$ f_{4}$ $ f_{0100}$   0 1 0 0 $ x\ (y)$ $ x\ \operatorname{without}\ y$ $ x \land \lnot y$
$ f_{5}$ $ f_{0101}$   0 1 0 1 $ (y)$ $ \operatorname{not}\ y$ $ \lnot y$
$ f_{6}$ $ f_{0110}$   0 1 1 0 $ (x,\ y)$ $ x\ \operatorname{not~equal~to}\ y$ $ x \ne y$
$ f_{7}$ $ f_{0111}$   0 1 1 1 $ (x\ y)$ $ \operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y$ $ \lnot x \lor \lnot y$
$ f_{8}$ $ f_{1000}$   1 0 0 0 $ x\ y$ $ x\ \operatorname{and}\ y$ $ x \land y$
$ f_{9}$ $ f_{1001}$   1 0 0 1 $ ((x,\ y))$ $ x\ \operatorname{equal~to}\ y$ $ x = y$
$ f_{10}$ $ f_{1010}$   1 0 1 0 $ y$ $ y$ $ y$
$ f_{11}$ $ f_{1011}$   1 0 1 1 $ (x\ (y))$ $ \operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y$ $ x \Rightarrow y$
$ f_{12}$ $ f_{1100}$   1 1 0 0 $ x$ $ x$ $ x$
$ f_{13}$ $ f_{1101}$   1 1 0 1 $ ((x)\ y)$ $ \operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x$ $ x \Leftarrow y$
$ f_{14}$ $ f_{1110}$   1 1 1 0 $ ((x)(y))$ $ x\ \operatorname{or}\ y$ $ x \lor y$
$ f_{15}$ $ f_{1111}$   1 1 1 1 $ ((~))$ $ \operatorname{true}$ $ 1$

Table A2. Propositional Forms on Two Variables

Table A2 lists the sixteen Boolean functions of two variables in a different order, grouping them by structural similarity into seven natural classes.

Table A2. Propositional Forms on Two Variables
$ \mathcal{L}_1$ $ \mathcal{L}_2$   $ \mathcal{L}_3$ $ \mathcal{L}_4$ $ \mathcal{L}_5$ $ \mathcal{L}_6$
    $ x =$ 1 1 0 0      
    $ y =$ 1 0 1 0      
$ f_{0}$ $ f_{0000}$   0 0 0 0 $ (~)$ $ \operatorname{false}$ 0
$ f_{1}$ $ f_{0001}$   0 0 0 1 $ (x)(y)$ $ \operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y$ $ \lnot x \land \lnot y$
$ f_{2}$ $ f_{0010}$   0 0 1 0 $ (x)\ y$ $ y\ \operatorname{without}\ x$ $ \lnot x \land y$
$ f_{4}$ $ f_{0100}$   0 1 0 0 $ x\ (y)$ $ x\ \operatorname{without}\ y$ $ x \land \lnot y$
$ f_{8}$ $ f_{1000}$   1 0 0 0 $ x\ y$ $ x\ \operatorname{and}\ y$ $ x \land y$
$ f_{3}$ $ f_{0011}$   0 0 1 1 $ (x)$ $ \operatorname{not}\ x$ $ \lnot x$
$ f_{12}$ $ f_{1100}$   1 1 0 0 $ x$ $ x$ $ x$
$ f_{6}$ $ f_{0110}$   0 1 1 0 $ (x,\ y)$ $ x\ \operatorname{not~equal~to}\ y$ $ x \ne y$
$ f_{9}$ $ f_{1001}$   1 0 0 1 $ ((x,\ y))$ $ x\ \operatorname{equal~to}\ y$ $ x = y$
$ f_{5}$ $ f_{0101}$   0 1 0 1 $ (y)$ $ \operatorname{not}\ y$ $ \lnot y$
$ f_{10}$ $ f_{1010}$   1 0 1 0 $ y$ $ y$ $ y$
$ f_{7}$ $ f_{0111}$   0 1 1 1 $ (x\ y)$ $ \operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y$ $ \lnot x \lor \lnot y$
$ f_{11}$ $ f_{1011}$   1 0 1 1 $ (x\ (y))$ $ \operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y$ $ x \Rightarrow y$
$ f_{13}$ $ f_{1101}$   1 1 0 1 $ ((x)\ y)$ $ \operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x$ $ x \Leftarrow y$
$ f_{14}$ $ f_{1110}$   1 1 1 0 $ ((x)(y))$ $ x\ \operatorname{or}\ y$ $ x \lor y$
$ f_{15}$ $ f_{1111}$   1 1 1 1 $ ((~))$ $ \operatorname{true}$ $ 1$

Table A3. $ \operatorname{E}f$ Expanded Over Differential Features $ \{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$

Table A3. $ \operatorname{E}f$ Expanded Over Differential Features $ \{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$
    $ \operatorname{T}_{11}$ $ \operatorname{T}_{10}$ $ \operatorname{T}_{01}$ $ \operatorname{T}_{00}$
  $ f$ $ \operatorname{E}f\vert _{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y}$ $ \operatorname{E}f\vert _{\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)}$ $ \operatorname{E}f\vert _{(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y}$ $ \operatorname{E}f\vert _{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}$
$ f_{0}$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$
$ f_{1}$ $ (x)(y)$ $ x\ y$ $ x\ (y)$ $ (x)\ y$ $ (x)(y)$
$ f_{2}$ $ (x)\ y$ $ x\ (y)$ $ x\ y$ $ (x)(y)$ $ (x)\ y$
$ f_{4}$ $ x\ (y)$ $ (x)\ y$ $ (x)(y)$ $ x\ y$ $ x\ (y)$
$ f_{8}$ $ x\ y$ $ (x)(y)$ $ (x)\ y$ $ x\ (y)$ $ x\ y$
$ f_{3}$ $ (x)$ $ x$ $ x$ $ (x)$ $ (x)$
$ f_{12}$ $ x$ $ (x)$ $ (x)$ $ x$ $ x$
$ f_{6}$ $ (x,\ y)$ $ (x,\ y)$ $ ((x,\ y))$ $ ((x,\ y))$ $ (x,\ y)$
$ f_{9}$ $ ((x,\ y))$ $ ((x,\ y))$ $ (x,\ y)$ $ (x,\ y)$ $ ((x,\ y))$
$ f_{5}$ $ (y)$ $ y$ $ (y)$ $ y$ $ (y)$
$ f_{10}$ $ y$ $ (y)$ $ y$ $ (y)$ $ y$
$ f_{7}$ $ (x\ y)$ $ ((x)(y))$ $ ((x)\ y)$ $ (x\ (y))$ $ (x\ y)$
$ f_{11}$ $ (x\ (y))$ $ ((x)\ y)$ $ ((x)(y))$ $ (x\ y)$ $ (x\ (y))$
$ f_{13}$ $ ((x)\ y)$ $ (x\ (y))$ $ (x\ y)$ $ ((x)(y))$ $ ((x)\ y)$
$ f_{14}$ $ ((x)(y))$ $ (x\ y)$ $ (x\ (y))$ $ ((x)\ y)$ $ ((x)(y))$
$ f_{15}$ $ ((~))$ $ ((~))$ $ ((~))$ $ ((~))$ $ ((~))$
Fixed Point Total: 4 4 4 16

Table A4. $ \operatorname{D}f$ Expanded Over Differential Features $ \{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$

Table A4. $ \operatorname{D}f$ Expanded Over Differential Features $ \{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$
  $ f$ $ \operatorname{D}f\vert _{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y}$ $ \operatorname{D}f\vert _{\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)}$ $ \operatorname{D}f\vert _{(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y}$ $ \operatorname{D}f\vert _{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}$
$ f_{0}$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$
$ f_{1}$ $ (x)(y)$ $ ((x,\ y))$ $ (y)$ $ (x)$ $ (~)$
$ f_{2}$ $ (x)\ y$ $ (x,\ y)$ $ y$ $ (x)$ $ (~)$
$ f_{4}$ $ x\ (y)$ $ (x,\ y)$ $ (y)$ $ x$ $ (~)$
$ f_{8}$ $ x\ y$ $ ((x,\ y))$ $ y$ $ x$ $ (~)$
$ f_{3}$ $ (x)$ $ ((~))$ $ ((~))$ $ (~)$ $ (~)$
$ f_{12}$ $ x$ $ ((~))$ $ ((~))$ $ (~)$ $ (~)$
$ f_{6}$ $ (x,\ y)$ $ (~)$ $ ((~))$ $ ((~))$ $ (~)$
$ f_{9}$ $ ((x,\ y))$ $ (~)$ $ ((~))$ $ ((~))$ $ (~)$
$ f_{5}$ $ (y)$ $ ((~))$ $ (~)$ $ ((~))$ $ (~)$
$ f_{10}$ $ y$ $ ((~))$ $ (~)$ $ ((~))$ $ (~)$
$ f_{7}$ $ (x\ y)$ $ ((x,\ y))$ $ y$ $ x$ $ (~)$
$ f_{11}$ $ (x\ (y))$ $ (x,\ y)$ $ (y)$ $ x$ $ (~)$
$ f_{13}$ $ ((x)\ y)$ $ (x,\ y)$ $ y$ $ (x)$ $ (~)$
$ f_{14}$ $ ((x)(y))$ $ ((x,\ y))$ $ (y)$ $ (x)$ $ (~)$
$ f_{15}$ $ ((~))$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$

Table A5. $ \operatorname{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $ \{ x, y \}$

Table A5. $ \operatorname{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $ \{ x, y \}$
  $ f$ $ \operatorname{E}f\vert _{x\ y}$ $ \operatorname{E}f\vert _{x (y)}$ $ \operatorname{E}f\vert _{(x) y}$ $ \operatorname{E}f\vert _{(x)(y)}$
$ f_{0}$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$
$ f_{1}$ $ (x)(y)$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ $ (\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$
$ f_{2}$ $ (x)\ y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$ $ (\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$
$ f_{4}$ $ x\ (y)$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ $ (\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$
$ f_{8}$ $ x\ y$ $ (\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$
$ f_{3}$ $ (x)$ $ \operatorname{d}x$ $ \operatorname{d}x$ $ (\operatorname{d}x)$ $ (\operatorname{d}x)$
$ f_{12}$ $ x$ $ (\operatorname{d}x)$ $ (\operatorname{d}x)$ $ \operatorname{d}x$ $ \operatorname{d}x$
$ f_{6}$ $ (x,\ y)$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ $ ((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ $ ((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$
$ f_{9}$ $ ((x,\ y))$ $ ((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ $ ((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$
$ f_{5}$ $ (y)$ $ \operatorname{d}y$ $ (\operatorname{d}y)$ $ \operatorname{d}y$ $ (\operatorname{d}y)$
$ f_{10}$ $ y$ $ (\operatorname{d}y)$ $ \operatorname{d}y$ $ (\operatorname{d}y)$ $ \operatorname{d}y$
$ f_{7}$ $ (x\ y)$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ $ ((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ $ (\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$
$ f_{11}$ $ (x\ (y))$ $ ((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ $ (\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$
$ f_{13}$ $ ((x)\ y)$ $ (\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ $ (\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ $ ((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$
$ f_{14}$ $ ((x)(y))$ $ (\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ $ ((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$
$ f_{15}$ $ ((~))$ $ ((~))$ $ ((~))$ $ ((~))$ $ ((~))$

Table A6. $ \operatorname{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $ \{ x, y \}$

Table A6. $ \operatorname{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $ \{ x, y \}$
  $ f$ $ \operatorname{D}f\vert _{x\ y}$ $ \operatorname{D}f\vert _{x (y)}$ $ \operatorname{D}f\vert _{(x) y}$ $ \operatorname{D}f\vert _{(x)(y)}$
$ f_{0}$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$
$ f_{1}$ $ (x)(y)$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$
$ f_{2}$ $ (x)\ y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$
$ f_{4}$ $ x\ (y)$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$
$ f_{8}$ $ x\ y$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$
$ f_{3}$ $ (x)$ $ \operatorname{d}x$ $ \operatorname{d}x$ $ \operatorname{d}x$ $ \operatorname{d}x$
$ f_{12}$ $ x$ $ \operatorname{d}x$ $ \operatorname{d}x$ $ \operatorname{d}x$ $ \operatorname{d}x$
$ f_{6}$ $ (x,\ y)$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$
$ f_{9}$ $ ((x,\ y))$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$
$ f_{5}$ $ (y)$ $ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}y$
$ f_{10}$ $ y$ $ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}y$
$ f_{7}$ $ (x\ y)$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$
$ f_{11}$ $ (x\ (y))$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$
$ f_{13}$ $ ((x)\ y)$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$
$ f_{14}$ $ ((x)(y))$ $ \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$ $ \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ $ (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ $ ((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$
$ f_{15}$ $ ((~))$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$ $ (~)$



Contributors to this entry (in most recent order):

As of this snapshot date, this entry was owned by Jon Awbrey.